MAX31855の温度データーの補正

• gcc version 11.2.0 (+ Arduino IDE 1.8.19)

• Arduino libraries

  • SPI at version 1.0

  • Wire at version 1.0

  • Adafruit_MAX31855_library at version 1.3.0

  • Adafruit_BusIO at version 1.10.3

• Arduino Nano

一般に熱電対を使った温度の測定では、ゼーベック効果による熱起電力 $E$ と基準接点側の温度 $t_\mathrm{AMB}$ を測定します。 熱起電力 $E$ を両接点の温度 $T_1$ と $T_2$ の関数として $E(T_1, T_2)$ と書くと、 $$\begin{align} E(T_1, T_2) = \int_{T_1}^{T_2} \left( S_\mathrm{B}(T) - S_\mathrm{A}(T) \right) \mathrm{d} T \end{align}$$ と書けます (ここで、$S_\mathrm{A}(T)$、 $S_\mathrm{B}(T)$ はそれぞれ熱電対を構成する金属 A, B のゼーベック係数)。 従って、 $$\begin{align} E(T_1, T_2) &= E(T_1, T_3) + E(T_3, T_2) \\ E(T_1, T_2) &= -E(T_2, T_1) \end{align}$$ が成立します (積分区間の分割, 積分区間の入れ替え)。 このことから、$T_1$, $T_2$, $T_3$ をそれぞれ 測温接点の温度 $t_\mathrm{R}$, 基準接点の温度 $t_\mathrm{AMB}$ 及び $0\,\mathrm{\degree{}C}$ とすれば、 $$\begin{align} E(t_\mathrm{R}, t_\mathrm{AMB}) &= E(t_\mathrm{R}, 0\,\mathrm{\degree{}C}) - E(t_\mathrm{AMB}, 0\,\mathrm{\degree{}C}) \end{align}$$ 従って、 $$\begin{align} E(t_\mathrm{R}, 0\,\mathrm{\degree{}C}) &= E(t_\mathrm{R}, t_\mathrm{AMB}) + E(t_\mathrm{AMB}, 0\,\mathrm{\degree{}C}) \end{align}$$ となります (あるいは $T_1 = t_\mathrm{R}$, $T_2 = 0\,\mathrm{\degree{}C}$, $T_3 = t_\mathrm{AMB}$ として式 (4) を適用してもよい)。

$0\,\mathrm{\degree{}C}$ を基準とした 熱起電力 $E(t, 0\,\mathrm{\degree{}C})$ から温度を求める関数を $t^0_\mathrm{TC}(E)$ とすると、 $$\begin{align} t_\mathrm{R} & = t^0_\mathrm{TC}(E(t_\mathrm{R}, 0\,\mathrm{\degree{}C})) \\ &= t^0_\mathrm{TC}( \underbrace{E(t_\mathrm{R}, t_\mathrm{AMB})}_\text{measured} + E( \underbrace{t_\mathrm{AMB}}_\text{measured}, 0\,\mathrm{\degree{}C}) ) \end{align}$$ により、求めたい温度 $t_\mathrm{R}$ が得られます。

実際には $E(t, 0\,\mathrm{\degree{}C})$ 及び $t^0_\mathrm{TC}(E)$ は未知なので、 対応表もしくは近似式を用いて算出します。

ゼーベック係数が温度に依存しないと仮定すると、式 (3) は、 $$\begin{align} E(T_1, T_2) = C (T_1 - T_2) \end{align}$$ ($C = - S_\mathrm{B} + S_\mathrm{A}$) となり、再び $T_1$, $T_2$ をそれぞれ $t_\mathrm{R}$, $t_\mathrm{AMB}$ とすれば、 $$\begin{align} E(t_\mathrm{R}, t_\mathrm{AMB}) &= C (t_\mathrm{R} - t_\mathrm{AMB}) \end{align}$$ となるので、これより $t_\mathrm{R}$ を求めれば、 $$\begin{align} t'_\mathrm{R} &= \frac{1}{C}E(t_\mathrm{R}, t_\mathrm{AMB}) + t_\mathrm{AMB} \end{align}$$ となります。 ここで式 (12) では線形仮定 (つまりあまり正確ではない) という意味合いで $t_\mathrm{R}$ に $'$ を付けています。

式 (11) がまさにデーターシートに載っている式であり、このようにして計算された $t'_\mathrm{R}$ が MAX31855 の出力として得られるデーターとなります。 しかし、この仮定はかなりラフな (限られた温度範囲内のみでの) 近似としてしか成立しません。

そこで、

1. MAX31855 から得られた $t'_\mathrm{R}$, $t_\mathrm{AMB}$ をもとに熱起電力 $E(t_\mathrm{R}, t_\mathrm{AMB})$ を逆算し、

2. この値 (と $t_\mathrm{AMB}$) を用いて、改めて式 (9) を適用する

ことによって、より正確な測温接点温度を求めることができます。

そのために、式 (11) を式 (9) を代入すると、 $$\begin{align} t_\mathrm{R} & = t^0_\mathrm{TC}(C (t_\mathrm{R} - t_\mathrm{AMB}) + E(t_\mathrm{AMB}, 0\,\mathrm{\degree{}C})) \end{align}$$ となり、これが上に述べた式となります。 $t^0_\mathrm{TC}(E)$ が emf2temp() と、$E(t, 0\,\mathrm{\degree{}C})$ が temp2emf() と対応しています。